Suma de cuadrados

¿Qué es la suma de cuadrados?

La suma de cuadrados es una técnica estadística utilizada en el análisis de regresión para determinar la dispersión de puntos de datos. En un análisis de regresión, el objetivo es determinar qué tan bien se puede ajustar una serie de datos a una función que podría ayudar a explicar cómo se generó la serie de datos. La suma de cuadrados se utiliza como una forma matemática de encontrar la función que mejor se ajusta (varía menos) de los datos.

La fórmula para la suma de cuadrados es

Para un conjunto X de n elementos:Suma de cuadrados =i =0∑n (Xi −X) 2 donde:Xi =El i-ésimo elemento del conjunto X =La media de todos los elementos del conjunto (Xi −X ) =La desviación de cada elemento de la media

La suma de cuadrados también se conoce como variación.

¿Qué le dice la suma de cuadrados?

La suma de cuadrados es una medida de desviación de la media. En estadística, la media es el promedio de un conjunto de números y es la medida de tendencia central más comúnmente utilizada. La media aritmética se calcula simplemente sumando los valores en el conjunto de datos y dividiendo por el número de valores.

Supongamos que los precios de cierre de Microsoft (MSFT) en los últimos cinco días fueron 74,01, 74,77, 73,94, 73,61, y 73,40 en dólares estadounidenses. La suma de los precios totales es $ 369.73 y el precio medio o promedio del libro de texto sería $ 369.73 / 5 =$ 73,95.

Pero conocer la media de un conjunto de medidas no siempre es suficiente. Algunas veces, Es útil saber cuánta variación hay en un conjunto de medidas. La distancia entre los valores individuales y la media puede dar una idea de cómo se ajustan las observaciones o los valores al modelo de regresión que se crea.

Por ejemplo, si un analista quisiera saber si el precio de las acciones de MSFT se mueve en conjunto con el precio de Apple (AAPL), puede enumerar el conjunto de observaciones para el proceso de ambas poblaciones durante un período determinado, di 1, 2, o 10 años y crear un modelo lineal con cada una de las observaciones o mediciones registradas. Si la relación entre ambas variables (es decir, el precio de AAPL y el precio de MSFT) no es una línea recta, luego hay variaciones en el conjunto de datos que necesitan ser analizados.

En las estadísticas hablan si la línea en el modelo lineal creado no pasa por todas las medidas de valor, entonces, parte de la variabilidad que se ha observado en los precios de las acciones no se explica. La suma de cuadrados se usa para calcular si existe una relación lineal entre dos variables, y cualquier variabilidad inexplicable se denomina suma de cuadrados residual.

La suma de los cuadrados es la suma del cuadrado de variación, donde la variación se define como el margen entre cada valor individual y la media. Para determinar la suma de cuadrados, la distancia entre cada punto de datos y la línea de mejor ajuste se eleva al cuadrado y luego se suma. La línea de mejor ajuste minimizará este valor.

Cómo calcular la suma de cuadrados

Ahora puede ver por qué la medida se llama suma de desviaciones al cuadrado, o la suma de cuadrados para abreviar. Usando nuestro ejemplo de MSFT anterior, la suma de cuadrados se puede calcular como:

• SS =(74,01 - 73,95) ² + (74,77 - 73,95) ² + (73,94 - 73,95) ² + (73,61 - 73,95) ² + (73,40 - 73,95) ²
• SS =(0.06) ² + (0,82) ² + (-0,01) ² + (-0,34) ² + (-0,55) ²
• SS =1.0942

Sumar la suma de las desviaciones sin elevar al cuadrado dará como resultado un número igual o cercano a cero, ya que las desviaciones negativas compensarán casi perfectamente las desviaciones positivas. Para obtener un número más realista, la suma de las desviaciones debe elevarse al cuadrado. La suma de cuadrados siempre será un número positivo porque el cuadrado de cualquier número, ya sea positivo o negativo, siempre es positivo.

Ejemplo de cómo utilizar la suma de cuadrados

Según los resultados del cálculo MSFT, una suma alta de cuadrados indica que la mayoría de los valores están más alejados de la media, y por lo tanto, existe una gran variabilidad en los datos. Una suma baja de cuadrados se refiere a una baja variabilidad en el conjunto de observaciones.

En el ejemplo anterior, 1.0942 muestra que la variabilidad en el precio de las acciones de MSFT en los últimos cinco días es muy baja y los inversores que buscan invertir en acciones caracterizadas por la estabilidad de precios y baja volatilidad pueden optar por MSFT.

Conclusiones clave

• La suma de cuadrados mide la desviación de los puntos de datos del valor medio.
• Un resultado de suma de cuadrados más alto indica un alto grado de variabilidad dentro del conjunto de datos, mientras que un resultado más bajo indica que los datos no varían considerablemente del valor medio.

Limitaciones de usar la suma de cuadrados

Tomar una decisión de inversión sobre qué acciones comprar requiere muchas más observaciones que las que se enumeran aquí. Un analista puede tener que trabajar con años de datos para saber con mayor certeza qué tan alta o baja es la variabilidad de un activo. A medida que se agregan más puntos de datos al conjunto, la suma de cuadrados aumenta a medida que los valores se distribuyen más.

Las medidas de variación más utilizadas son la desviación estándar y la varianza. Sin embargo, para calcular cualquiera de las dos métricas, primero debe calcularse la suma de cuadrados. La varianza es el promedio de la suma de cuadrados (es decir, la suma de cuadrados dividida por el número de observaciones). La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza.

Hay dos métodos de análisis de regresión que utilizan la suma de cuadrados:el método de mínimos cuadrados lineales y el método de mínimos cuadrados no lineales. El método de mínimos cuadrados se refiere al hecho de que la función de regresión minimiza la suma de los cuadrados de la varianza de los puntos de datos reales. De este modo, es posible dibujar una función que proporcione estadísticamente el mejor ajuste para los datos. Tenga en cuenta que una función de regresión puede ser lineal (una línea recta) o no lineal (una línea curva).