Teorema del límite central (CLT)

¿Qué es el teorema del límite central (CLT)?

En la teoría de la probabilidad, el teorema del límite central (CLT) establece que la distribución de una variable muestral se aproxima a una distribución normal (es decir, una "curva de campana") a medida que aumenta el tamaño de la muestra, asumiendo que todas las muestras son idénticas en tamaño, e independientemente de la forma de distribución real de la población.

Dicho de otra manera, CLT es una premisa estadística que, dado un tamaño de muestra suficientemente grande de una población con un nivel finito de varianza, la media de todas las variables muestreadas de la misma población será aproximadamente igual a la media de toda la población. Es más, estas muestras se aproximan a una distribución normal, siendo sus varianzas aproximadamente iguales a la varianza de la población a medida que aumenta el tamaño de la muestra, según la ley de los grandes números.

Aunque este concepto fue desarrollado por primera vez por Abraham de Moivre en 1733, no se formalizó hasta 1930, cuando el célebre matemático húngaro George Polya lo denominó Teorema del límite central.

Conclusiones clave

• El teorema del límite central (CLT) establece que la distribución de las medias muestrales se aproxima a una distribución normal a medida que aumenta el tamaño de la muestra, independientemente de la distribución de la población.
• Los tamaños de muestra iguales o superiores a 30 a menudo se consideran suficientes para que el CLT se mantenga.
• Un aspecto clave de CLT es que el promedio de las medias muestrales y las desviaciones estándar será igual a la media y la desviación estándar de la población.
• Un tamaño de muestra suficientemente grande puede predecir las características de una población con mayor precisión.

Teorema del límite central

Comprensión del teorema del límite central

Según el teorema del límite central, la media de una muestra de datos estará más cerca de la media de la población general en cuestión, a medida que aumenta el tamaño de la muestra, sin perjuicio de la distribución real de los datos. En otras palabras, los datos son precisos si la distribución es normal o aberrante.

Como regla general, los tamaños de muestra de alrededor de 30-50 se consideran suficientes para que el CLT los mantenga, lo que significa que la distribución de las medias muestrales se distribuye con bastante normalidad. Por lo tanto, cuantas más muestras se tome, cuanto más adopten los resultados graficados la forma de una distribución normal. Nota, sin embargo, que la teoría del límite central todavía se aproximará en muchos casos para tamaños de muestra mucho más pequeños, como n =8 o n =5.

El teorema del límite central se usa a menudo junto con la ley de los grandes números, que establece que el promedio de las medias de la muestra y las desviaciones estándar se acercará más a igualar la media y la desviación estándar de la población a medida que aumenta el tamaño de la muestra, lo cual es extremadamente útil para predecir con precisión las características de las poblaciones.

El teorema del límite central en finanzas

El CLT es útil cuando se examinan los rendimientos de una acción individual o índices más amplios, porque el análisis es simple, debido a la relativa facilidad de generar los datos financieros necesarios. Como consecuencia, inversores de todo tipo confían en el CLT para analizar la rentabilidad de las acciones, construir carteras, y gestionar el riesgo.

Decir, por ejemplo, un inversor desea analizar el rendimiento general de un índice bursátil que comprende 1, 000 acciones. En este escenario, ese inversor puede simplemente estudiar una muestra aleatoria de acciones para cultivar los rendimientos estimados del índice total. Para estar seguro, utilizar al menos 30-50 acciones seleccionadas al azar en varios sectores, debe tomarse una muestra para que se mantenga el teorema del límite central. Es más, Las acciones seleccionadas previamente deben intercambiarse con diferentes nombres para ayudar a eliminar el sesgo.